Как измерить взаимную индуктивность
Перейти к содержимому

Как измерить взаимную индуктивность

  • автор:

Электротехника ТОЭ

Лекции и задачи по ТОЭ. На сайте представлен лекционный материал для изучения теоретических основ электротехники и видеоуроки по всем темам. Так же тут можно заказать решение задач, курсовых, расчетных, контрольных и домашних работ. Онлайн помощь на экзамене, контрольной. Решение тестов, занятия по скайпу и др. В ближайшее время на сайт будут добавлены готовые работы на разные темы ТОЭ, ТАУ и другим дисциплинам.

8.4. Экспериментальное определение взаимной индуктивности

Теория / 8.4. Экспериментальное определение взаимной индуктивности

Для того чтобы экспериментально определить взаимную индуктивность, необходимо провести два опыта.

1. Соединяем катушки согласно. Подаем на вход цепи напряжение U и измеряем ток при согласном включении I согл.

По известным значениям напряжения и тока определяем z согл:

2. Соединяем катушки встречно. Подаем на вход цепи то же самое напряжение U и определяем ток при встречном включении I встр.

Находим сопротивление при встречном включении:

Воспользуемся выражениями для сопротивлений при согласном и встречном включениях
Найдем разность сопротивлений при согласном и встречном включении:

Если у индуктивно связанных катушек не обозначены начала и концы обмоток, то их можно определить опытным путем.

Для этого у одной катушки условно полагаем один зажим началом, другой – концом. Зажимы второй катушки обозначим, допустим, а и b .

Соединяем эти катушки последовательно, подключая вторую катушку произвольно, как, например, на рис. 8.10.

Подаем на вход цепи напряжение U и измеряем ток I 1.

Меняем местами зажимы второй катушки (рис. 8.11) и при том же напряжении U измеряем ток I 2.

Сравниваем измеренные токи. Так как при согласном включении сопротивление больше, чем при встречном, то при одинаковом напряжении ток согласного включения будет меньше, чем встречного.

Если I 1 > I 2, то в первом случае было встречное включение, значит, зажим а является концом катушки, b началом.

Если I 1 < I 2, то в первом случае было согласное включение и зажим а является началом катушки, b концом.

Методика расчета погрешности измерения взаимной индуктивности фазовым методом Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Аннотация научной статьи по электротехнике, электронной технике, информационным технологиям, автор научной работы — Меликян Т.А.

Рассмотрена проблема измерения взаимной индуктивности магнитно-связяанных катушек, изложен принцип ее измерения фазовым методом . Представлена принципиальная схема устройства реализации фазового метода, получена математическая модель преобразования, анализирована чувствительность измерения , рассмотрены особенности выбора параметров схемы. Разработана методика теоретического исследования метрологических характеристик устройства, оценен предел допускаемой погрешности измерения .

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по электротехнике, электронной технике, информационным технологиям , автор научной работы — Меликян Т.А.

Способы измерения индуктивности
Устройства синхронизации с элементами фазовой интерполяции
Схема замещения катушки с ферромагнитным сердечником в звуковом диапазоне частот
АКИП — современные измерители RLC-параметров
Метод индукционного контроля массовой доли железа в магнетитовой руде
i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Методика расчета погрешности измерения взаимной индуктивности фазовым методом»

СИМВОЛ НАУКИ ISSN 2410-700X № 9/2019

Национальный политехнический университет Армении,

г. Гюмри, Армения, Е-mail: tatulmeliqyan@gmail.com

МЕТОДИКА РАСЧЕТА ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЯ ВЗАИМНОЙ ИНДУКТИВНОСТИ

Рассмотрена проблема измерения взаимной индуктивности магнитно-связяанных катушек, изложен принцип ее измерения фазовым методом. Представлена принципиальная схема устройства реализации фазового метода, получена математическая модель преобразования, анализирована чувствительность измерения, рассмотрены особенности выбора параметров схемы. Разработана методика теоретического исследования метрологических характеристик устройства, оценен предел допускаемой погрешности измерения.

Катушка индуктивности, взаимная индуктивность, измерение, фазовый метод, погрешность измерения.

Melikyan Tatul Arturovich

National polytechnic university of Armenia,

Gyumri, Armenia Е-mail: tatulmeliqyan@gmail.com

METHOD OF CALCULATION OF MEASUREMENT ERROR OF MUTUAL INDUCTANCE

BY PHASE METHOD

The problem of measuring the mutual inductance of magnetically coupled coils is considered, the principle of its measurement by the phase method is stated. A schematic diagram of the device for the implementation of the phase method is presented, a mathematical model of conversion is obtained, the sensitivity of measurement is analyzed, the features of the choice of circuit parameters are considered. A technique for a theoretical study of the metrological characteristics of the device is developed, and the limit of permissible measurement error is estimated.

Inductance coil, mutual inductance, measurement, phase method, measurement error.

Взаимная индуктивность М двух магнитно-связанных катушек с индуктивностями Ц и L2 выражается через коэффициент связи k посредством формулы [1]

Значение коэффициента к изменяется в пределах к = 0. 1 и зависит от близости катушек, материала их сердечника, их взаимной ориентации, формы и количества витков. Принято считать, что у слабо связанных катушек к < 0,5, у сильно связанных - к >0,5. Если две катушки плотно намотаны одна над другой на общем ферромагнитном сердечнике, их связь почти идеальна, и значение коэффициента к приближается к единице. Если же расстояние между катушками велико, значение к очень мало и приближается к нулю. Взаимная индуктивность выражается через количество витков И и И катушек

СИМВОЛ НАУКИ ISSN 2410-700X № 9/2019

где M — магнитное сопротивление замкнутого контура, по которому проходит общий для обеих катушек магнитный поток. Если в указанном замкнутом контуре имеются вещества, в которых происходят

потери энергии, обусловленные явлениями гистерезиса и вихревых токов, то магнитное сопротивление RM становится комплексной величиной ZM = RM ^ JXm с активной RM и реактивной Xм

составляющими. Из выражений (1) и (2) следует, что всегда М^ = М21 = М, т.е., взаимная

индуктивность двух катушек не зависит от того, какой катушкой создается магнитный поток.

На рис 1. представлена упрощенная схема измерителя взаимной индуктивности, использующего фазовый метод [2]. Катушки 1 и 2 образуют обмотки трансформатора, к общему выводу которых

подключен опорный резистор R . Первичная обмотка 1 питается синусоидальным током / генератора Г

(непосредственно или через токоограничивающий резистор R), а вторичная обмотка 2 работает в режиме

холостого хода. Выходным сигналом является угол фазового сдвига ( между напряжениями Us и UN,

которые приложены ко входу микроконтроллера МК (непосредственно или через буферы). В векторной

диаграмме (рис. 1б) через R, Lj и Uj обозначены активное сопротивление, индуктивность и напряжение

первичной обмотки трансформатора соответственно, UN = /, R(), U0 = Е0 = JQ)MIl, Us = UN + U0 ,

tg( = _— = ——, следовательно,

откуда видно, что результат измерения не зависит от напряжения генератора и тока питания измерительной цепи, а угол ( является единственным информативным параметром.

Рисунок 1 — Измерение взаимной индуктивности фазовым методом: а — схема измерительной цепи; б — векторная диаграмма тока и напряжений

СИМВОЛ НАУКИ ISSN 2410-700X

МК измеряет угол р и определяет значение М по формуле (3). Сигнал угла р можно передавать на расстояния или использовать для сопряжения измерительного устройства со средствами вычислительной техники для автоматизированной обработки измерительной информации. Чувствительность 5 преобразования р = / (М) определяется из формулы (3):

1 dM _ R0 d (tgр) _ R 1

Из графика зависимости S = f ip) (рис. 2) видно, что при значениях р > 60° чувствительность преобразования становится меньше значения S = 0,25 ■ Smax, следовательно шкалу угла р целесообразно ограничивать сверху значением р = 600 . Если заданы пределы измерения M = 0.. .Mmax

должно соответствовать из

= So . tg60o =J3 R , ю ю

определяем значение сопротивления резистора Ro при известном значении С: ^

пределы измерения можно выбрать с помощью сопротивления Ro. Например, для предела измерения М = 0. 0Д Гн , при частоте измерительного тока ( = 50 Гц получается R0 = 18,125 Ом , а при частоте

Рисунок 2 — График зависимости чувствительности преобразования от величины угла фазового сдвига

Исследованы метрологические характеристики измерителя. Абсолютная погрешность определения М будет

А(tgp) = -(aR .tgp-R .tgp- — + R А(tgp) юу ю

СИМВОЛ НАУКИ ISSN 2410-700X № 9/2019

а относительная погрешность

у(м) = М = ^-Ас+А^р = у(Я> )-уС) + у(Кр). (4)

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Составляющие погрешности у(М), входящие в формулу (4), являются случайными и независимыми, они обычно нормируются своими средними квадратическими отклонениями величиной 2^ с доверительной вероятностью 0,9 независимо от закона их распределения [3]. Поэтому можно принять, что с такой же доверительной вероятностью можно считать суммарную погрешность

у( М ) = 2ст[у( М )] . Следовательно, с учетом (4) можем писать:

у(м) = 2а[у(М)] = 2^2 [у(Я)] + [у (с)] + [у^р)] , или

Составляющие погрешности у( Я0) и у(с) можно значительно уменьшить путем

соответствующего выбора типов резистора и генератора. В качестве резистора Я целесообразно выбрать высокоточные металлопленочные резисторы типа С5-61 [4]. Они выпускаются мощностью 0,5 Вт, минимальным допускаемым отклонением +0,005% от номинального сопротивления и температурным

коэффициентом сопротивления (ТКС) = +10 -10 С . Промежуточные значения номинальных сопротивлений этих резисторов соответствует ряду Е192 по ГОСТ 28884-90 [5]. С учетом значения нормальной температуры г = 20 + 5 °С, максимальное изменение темпертуры можно принять равным

А = 10 °С, тогда для температурного изменения сопротивления резистора получим

АЯ = Я — А = 10-4 Я . Следовательно, максимальное абсолютное изменение сопротивления

резистора будет АЯ02 = 5-10-5 Я +10-4 Я = 1,5-10-4 Я0, а для максимального относительного

изменения сопротивления резистора получим у (Я ) = 1,5 -10-4 = 0,015% .

В качестве генератора питания измерительной цепи целесообразно использовать яс -генератор на операционном усилителе (ОУ) с мостом Вина, который является основным элементом многочисленных лабораторных и промышленных генераторов синусоидальных сигналов, работающих в диапазоне частот от 20 Гц до 200 кГц [6, 7]. Стабильность частоты этих генераторов определяется стабильностью параметров применяемых резисторов, конденсаторов и ОУ. Применение глубокой отрицательной обратной связи (ООС) обеспечивает высокую стабильность параметров ОУ и позволяет увеличивать стабильность частоты

генератора в Ку/ 3 раз [8]. Так, при переходе от Ку = 3 к Ку = 400 стабильность частоты генератора увеличивается более чем в 100 раз. В [9] проведено исследование нестабильности частоты этих генераторов. Показано, что при коэффициенте усиления оу К = 10 температурное изменение частоты составляет Ас/А = 4,5 -10-4 рад/град. Поэтому неатабильность частоты генератора определяется, в основном,

зависимостью от температуры параметров элементов R-C цепей, входящих в цепи ОС. В зависимости от типа используемых резисторов, конденсаторов и других пассивных элементов, нестабильность частоты

может быть получена в пределах у(с) = 0,1. 3% [10]. Применяя резисторы и конденсаторы с

минимальными температурными коэффициентами и охватывая ОУ глубокой ООС можно получить стабильность частоты примерно 10-4 на 1 К [11]. Это означает, что при нормальных условиях, когда

СИМВОЛ НАУКИ ISSN 2410-700X № 9/2019

А=10°С , составляющая погрешности от изменения частоты генератора будет /(с) = 10 3 = 0,1%.

Следует отметить, что наличие МК позволяет существенно уменьшить это значение /(с^ , вплоть

до исключения этой погрешности. Для этого нужно не записывать в МК заданное номинальное значение

частоты генератора, а в формуле (3) использовать реальное значение С = 2л/ = 2^/T , поскольку

период т измеряется микроконтроллером с высокой точностью методом дискретного счета при каждом определении угла р.

Погрешность /((§р) зависит от погрешности измерения угла р и вычисления tgр:

tgp tgp dp ‘ tgp-cos p sin2p где обозначено / = 2/sin 2p.

В табл. 1 представлены результаты расчета множителя / для различных значений угла p.

Результаты расчета множителя 3

p, град. 3,0 6,0 10 15 20 30 45 50 60

2 p, град. 6,0 12 20 30 40 60 90 100 120

sin 2p 0,1045 0,2079 0,342 0,5 0,643 0,865 1,0 0,985 0,865

ß 19,138 9,62 5,85 4,0 3,11 2,31 2,0 2,03 2,31

Естественно, что с уменьшением измеряемой величины М (следовательно и угла р) значения Р и Г^р) будут бесконечно увеличиваться. Однако надо учесть следующее обстоятельство. В цифровых

измерительных приборах отношение пределов измерений поддиапазонов в основном принимается равным 10. При этом начальные части шкалы, примерно 10% предела измерения, практически не применяются, поскольку эти значения измеряемой величины более точно измеряются предыдущим поддиапазоном. Исходя из этого, в табл. 1 шкалу угла р можно ограничивать снизу значением, соответствующим

измеряемой величине М — = 0,1М . С помощью формулы (3) находим это значение р = р-:

Mmin = 0,1Mmax = . 0,1732; ю

рт1п = 9050 ~ 100. Исходя из этого, при определении предела допускаемой относительной погрешности измерения М максимальное значение множителя Р необходимо принимать равным Р = 5,85 , как это

следует из табл. 1 при значении р = 10° .

Угол р измеряется в МК цифровым методом путем его преобразования во временной интервал Т в соответствии с зависимостью

р = Т• 2^/ Т = Т- 2л / = С’Т. (7)

Точность определения угла р по формуле (7) зависит только от погрешности формирования временного интервала Т с помощью МК ( Ат ) и погрешности квантования Т (АТ2):

Ap = dpAr = ю(Aг1 +Ar2),

следовательно, из (6) получаем

СИМВОЛ НАУКИ ISSN 2410-700X № 9/2019

где обозначены Yi (tgp) = P • Ap = p-C- Atx ; Y2 (tgp) = P • Ap2 = p-C- At2 . Временной интервал T формируется входными компараторами МК при переходах напряжений Us

и U^ через нуль. Так как переключение компараторов происходит в линейной области характеристики

усиления ОУ, то время переключения зависит от скорости изменения входного напряжения и напряжения смещения компараторов (быстродействие компараторов применяемого МК существенно выше частоты

генератора Г). Поэтому погрешность A Ti можно практически полностью исключить соответствующим выбором амплитуды напряжений Us и UN , от которой зависит скорость изменения входного напряжения. Представим эти напряжения в общем виде u = Um sin ct , скорость их изменения будет

V = du¡ dt = cUm cos ct.

Компараторы МК срабатывают при переходах напряжений Us и UN через нуль, где COS Ct = 1 и

Vmax = cUm. Если напряжение смещения компараторов равно AU0, то за время одного периода

тактового генератора МК 70 = 1/f приращение входного напряжения должно быть как минимум в

Х = 5. 10 раз больше AUo. Это необходимо, чтобы длительность фронтов сигнала временного интервала T была меньше или равна периоду тактовых импульсов во избежание потерь тактовых импульсов в течение фронтов начала и конца сигнала T . Это условие запишется в виде

Для минимального значения Um получим:

(Um )min =Xf0 -AUJC. (10)

В разработке используется МК типа PIC32MX695F512H с тактовой частотой f = 80 МГц, стабилизируемый кварцевым резонатором. Из-за такой высокой тактовой частоты из (10) получается чрезмерно большая амплитуда Um, особенно при низких частотах f генератора Г. В компараторах используются наиболее прецизионные ОУ, например, типов OPA, OPAy, TLE (Texas Instruments), имеющие сверхмалые напряжения смещения, не превышающие AU0 =(0,005. 0,125) мВ (при 250 С) [12].

Поэтому при исследованиях можно ориетироваться на значение AU0 порядка AU0 * 0,1 мВ. В этом

случае при частоте, например, C = 314 С 1 ( f = 50 Гц), из (10) получается при Х = 5 :

(Um)^п= 5 • 80 -10″6 • 0,1-10″3/314 * 127 В,

в то время, как в нашей разработке, исходя из технических характеристик используемого МК, амплитуда напряжений Us и UN не может быть больше Um = 1,65 В. Поэтому, вместо идеального

условия (9), при котором полностью исключается погрешность At , более реально нормировать эту погрешность некоторым приемлемым для практики значением, для чего необходимо установить зависимость погрешности A^ от AU0 и Um .

Для измерения угла фазового сдвига ер между двумя синусоидальными напряжениями

U1 = UXm sin Ct и U2 = U2m sin (ct — ер) подают их на входы компараторов напряжений (КН) K1 и K2, вторые входы которых подключены к напряжению условного «0» (рис. 3).

Когда напряжения U1 и Uj приравниваются напряжению «0», на выходах КН получаются короткие -( 26 )-

СИМВОЛ НАУКИ ISSN 2410-700X № 9/2019

сигналы в моменты времени /. и tr.i. В идеальном случае интервал времени Т между этими моментами

пропорционален углу ф : t2i — th — Т —-ф — — и

Рисунок 3 — К преобразованию угла фазового сдвига между двумя синусоидальными напряжениями в интервал времени

Поскольку в реальности КН имеют напряжения смещения нуля АЦ^ и АЦ^ , то моменты времени /ц и получаются не в точках и = 0, а в точках М1 = АЦ^ и М2 = А(рис. 4): Поэтому интервал времени Т получается с некоторой погрешностью. Если АЦ^ = АЦ02 , то эту погрешность практически

можно не учитывать. В общем случае ЛЦ^ Ф AU02 , поэтому для моментов времени t* и t2i выходных сигналов КН можно написать

ЛЦ01 — U1m sm^t1i , ЛЦ02 — U2m sinDt2, . (12)

Для напряжений U1 и U2 моменты t^ и t2i соответствуют значению sin (Dt — 0, поэтому формулы (12) для общего случая можно представить в виде

ЛЦ)1 — ~U 1m sin Dt* — Um sin Dtb — Um (sin Dt* — sin Dtb ),

ЛЦ02 — U2m sin Dt2i — U2m sin (t2i — U2m (sin Dtl — sin (t2i ) ,

а из-за малости углов синусы можно заменить их аргументами:

AU01 —DU1m (t* — t1i ) , ЛЦ02 — dU2m (4 — t2i ) ,

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

D(4 — t2i )-D(4 — t1i )—

Как измерить взаимную индуктивность

Имеющие магнитную связь индуктивности находят очень широкое применение в разных областях техники. Например, они являются основой трансформаторов, значимость которых не нуждается в комментариях. Связанные индуктивности используются для решения множества задач в электронике. Они могут являться частью различных согласующих и частотно-избирательных цепей, используются для реализации обратных связей, для преобразования сигналов, осуществления гальванической развязки цепей (как вариант использования сигнальных трансформаторов), в некоторых типах датчиков и пр. Даже когда взаимная связь, казалось бы, практически отсутствует из-за значительной удалённости индуктивностей, она может иметь важнейшее техническое значение — так, металлоискатели, используя такую связь между своей катушкой и объектом поиска, позволяют обнаруживать металлические предметы, скрытые слоем почвы (бетона, скальных пород, воды, ила и т.д.).

Одной из численных характеристик связи между индуктивностями является взаимная индуктивность (также может использоваться величина — коэффициент связи, но об этом немного позже). Величина обладает интересными свойствами, которые здесь будут рассмотрены. Будет предложено очень простое их обоснование на основе энергетических соображений, которое возможно сделать, оставаясь в рамках теории цепей и не углубляясь в детали электродинамики явлений.

Оглавление
Свойства взаимной индуктивности

Понятие взаимной индуктивности

При изменении тока, протекающего через катушку индуктивности, в ней наводится эдс самоиндукции. Для линейной индуктивности справедливо соотношение $$ e_ = — L_1 \frac , $$ где e11 — эдс самоиндукции (двойной индекс «1» означает, что эдс возникает в первой катушке и причиной является изменение тока в ней же); L1 — индуктивность катушки; i1 — ток в катушке (рис. %img:l1).

Наведение эдс самоиндукции в индуктивности при изменении в ней тока.

Рис. %img:l1

Кроме того, если катушка L1 имеет магнитную связь с некоторой другой катушкой L2 (т.е. первая катушка находится в магнитном поле второй или, иначе говоря, магнитный поток, создаваемый L2, частично пронизывает L1), то изменения тока в L2 индуцируют эдс в катушке L1: $$ e_ = — M_ \frac . $$ Коэффициент M12 — взаимная индуктивность (или коэффициент взаимной индукции). Взаимная индуктивность является величиной, характеризующей магнитную связь катушек. В данном случае она показывает, насколько сильно изменение тока во второй катушке влияет на эдс, наведённую в первой катушке.

Две индуктивности, имеющие магнитную связь.

Рис. %img:l1l2

С учётом сказанного, напряжение на L1 может быть выражено как $$ u_1 = — (e_+e_) = L_1 \frac + M_ \frac . $$ Аналогичное соотношение справедливо и для L2, а в целом две магнитно связанные индуктивности описываются следующей системой уравнений, всем известной из теории цепей: $$ \begin u_1 = L_1 \frac + M_ \frac \\ u_2 = M_ \frac + L_2 \frac . \end $$ При записи уравнений мы использовали два разных обозначения для коэффициента взаимной индукции, M12 и M21. Однако хорошо известно, что в действительности M12 = M21, т.е. взаимная индуктивность, характеризующая влияние второй катушки на первую, равна взаимной индуктивности, характеризующей влияние первой катушки на вторую. Значит, можно говорить просто о взаимной индуктивности M.

Независимость взаимной индуктивности от перестановки индексов или свойство взаимности часто воспринимается как нечто само собой разумеющееся, приводится просто как факт, без доказательства. Но на самом деле справедливость свойства не столь уж очевидна и требует обоснования.

Далее попробуем выполнить обоснование на основе энергетических соображений. Будем делать это в самом общем виде. В качестве отправной точки возьмём записанную выше систему уравнений, т.е. связанные индуктивности будем рассматривать на уровне теории электрических цепей, отвлечённо от вопросов электродинамики, без учёта каких либо конструктивных особенностей системы.

Но прежде несколько слов об используемом здесь соглашении о знаке M. В то время как индуктивность — всегда положительная величина, в отношении взаимной индуктивности существуют два подхода. Иногда M считают алгебраической величиной, которая может быть как положительной, так и отрицательной. Это бывает удобно, например, если M может изменяться (скажем, если катушки являются подвижными и нужно описать поведение цепи при повороте катушек относительно друг друга). Но чаще всего оказывается более предпочтительным другой подход. При фиксированном значении взаимной индукции, всегда можно выбрать положительные направления токов для связанных индуктивностей таким образом, что M будет положительной величиной. Для этого следует считать положительными токи, которые втекают в соответствующие выводы индуктивностей (соответствующие с учётом фазировки; при разомкнутых зажимах одной из индуктивностей и изменении тока через другую, напряжения на соответствующих выводах изменяются синфазно). На рис. %img:l1l2 соответствующие выводы обозначены точками.

Здесь будем придерживаться второго подхода, т.е. выбирать положительные направления для токов в связанных индуктивностях так, чтобы взаимная индуктивность была положительной.

Основные свойства взаимной индуктивности

1. Свойство взаимности (независимость взаимной индуктивности от перестановки индексов). Для двух связанных индуктивностей, как уже было отмечено выше, справедливо равенство $$ M_ = M_. $$ Кстати, свойство взаимности остаётся справедливым и для случая нескольких связанных индуктивностей, \(M_=M_\), но здесь ограничимся рассмотрением только двух индуктивностей.

2. Максимально возможное значение взаимной индуктивности между двумя катушками не может превышать среднего геометрического их индуктивностей: $$ M \le \sqrt, $$ где L1, L2 — индуктивности катушек. Это означает, что как бы мы ни старались увеличить связь между двумя катушками, скажем, сближая их, взаимная индуктивность не может получиться больше указанной величины.

Свойство даёт нам возможность ввести другую удобную величину, характеризующую степень связи двух индуктивностей — коэффициент связи k, $$ k = \frac M >. $$ Величина k безразмерная, может принимать значения от 0 до 1. Величине 0 соответствует полное отсутствие магнитной связи между индуктивностями. Коэффициент, равный 1, говорит о совершенной связи между двумя индуктивностями (магнитный поток одной катушки полностью пронизывает другую).

Нулевой коэффициент стремятся получить, если требуется максимально развязать между собой некоторые участки цепи, когда их взаимное влияние препятствует нормальной работе устройства. К единичному коэффициенту стремятся, когда задача состоит в наиболее эффективной передаче энергии от одной индуктивности к другой посредством магнитного поля (например, в трансформаторах).

3. Энергия, запасённая системой двух магнитно связанных индуктивностей равна $$ W=\frac 2 + \frac 2 + M i_1 i_2. $$ Данное соотношение с натяжкой можно отнести к свойствам собственно M, но всё же оно приведено здесь, потому как два предыдущих свойства очень просто обосновать в процессе вычисления W.

Заметим, что токи в формуле — алгебраические величины, в зависимости от выбранных положительных направлений в цепи, они могут быть как положительными, так и отрицательными. Поэтому энергия, запасённая двумя связанными индуктивностями, может быть как больше, так и меньше энергии двух независимых катушек с такими же индуктивностями при таких же токах через них.

Обоснование свойств взаимной индуктивности

Для обоснования перечисленных выше свойств взаимной индуктивности, вычислим энергию, запасённую системой из двух связанных индуктивностей.

Но прежде, в качестве упражнения, поясняющего используемый для вычисления подход, найдём энергию одиночной индуктивности L1. Напряжение на индуктивности $$ u_1 = L_1 \frac . $$ Тогда мощность, передаваемая из цепи в индуктивность $$ p_1 = u_1 i_1 = L_1 i_1 \frac , $$ а энергия, передаваемая за промежуток времени между моментами t1, t2 $$ \Delta W_1 = \int\limits_^ p_1 dt = L_1 \int\limits_^ i_1 \frac dt = L_1 \int\limits_>^> i_1 di_1, $$ $$ \begin \Delta W_1 = L_1 \int\limits_>^> i_1 di_1, \label \end $$ здесь мы перешли к новым пределам интегрирования i11, i12, соответствующим току через индуктивность в моменты времени t1 и t2. Интегрируя, получаем $$ \Delta W_1 = \frac ^2> 2 — \frac ^2> 2. $$

Получаемая индуктивностью за рассматриваемый промежуток времени энергия может быть как больше нуля (если i1(t2) > i1(t1)), так и меньше нуля (если i1(t2) < i1(t1)). Иначе говоря, индуктивность может получать энергию из цепи, к которой подключена, а может отдавать запасённую энергию в цепь. Идеальная индуктивность запасает получаемую энергию без потерь: как видно из формулы, если величина тока через индуктивность возвращается к начальному значению, полученная энергия оказывается равной 0, т.е. запасаемая во время роста тока энергия, полностью возвращается в цепь при снижении тока.

Из формулы получаем, что если в начальный момент ток через индуктивность равен 0 (и запасённая энергия равно 0), то энергия, запасённая в индуктивности в любой момент времени составит $$ W_1=\frac 2. $$ Эта энергия зависит только от индуктивности катушки и величины тока в данный момент (в квазистационарном приближении). Величина не может быть отрицательной (индуктивность может отдавать запасённую энергию, но не является генератором — не может отдать больше, чем было запасено перед этим).

Теперь перейдём к вычислению энергии, запасаемой системой из двух связанных индуктивностей, которая описывается уравнениями (\ref). Пока мы предполагаем, что коэффициенты взаимной индукции в уравнениях могут быть различными. $$ \begin \begin u_1 = L_1 \frac + M_ \frac \\ u_2 = M_ \frac + L_2 \frac . \end \end \label $$ Получаемая из цепи мощность равна сумме мощностей, получаемых каждой из индуктивностей: $$ p = p_1 + p_2 = u_1 i_1 + u_2 i_2, \\ p = L_1 i_1 \frac + M_ i_1 \frac + M_ i_2 \frac + L_2 i_2 \frac . $$ Пусть в начальный момент токи через индуктивности равны 0, запасённая энергия отсутствует. Тогда запасаемая связанными индуктивностями энергия к некоторому моменту времени \(\tau\) составит $$ W(\tau) = \int\limits_^ p dt = \\ = \int\limits_^ \left( L_1 i_1 \frac + M_ i_1 \frac + M_ i_2 \frac + L_2 i_2 \frac \right) dt, $$ $$ \begin W(\tau) = L_1 \int\limits_^ i_1 di_1 + M_ \int\limits_^ i_1 di_2 + M_ \int\limits_^ i_2 di_1 + L_2 \int\limits_^ i_2 di_2. \label \end $$ Для простоты записи, мы не переходим к новым пределам интегрирования (как в (\ref)), поскольку выражение вида $$ \int\limits_^ i_x di_y $$ будем считать просто краткой формой $$ \int\limits_^ i_x(t) d(i_y(t)) $$ и при вычислениях в нужный момент всегда сможем перейти к требуемым величинам.

Первое и последнее слагаемое в (\ref) вычисляются элементарно, получаемый для них результат совпадает со значением энергии для уединённой индуктивности, т.е. \(L i^2/2\). Тогда получаем $$ W(\tau) = \frac 2 + \frac 2 + M_ \int\limits_^ i_1 di_2 + M_ \int\limits_^ i_2 di_1. $$ Если мы преобразуем один из интегралов в последнем выражении, используя метод интегрирования по частям, т.е. используя формулу $$ \int u dv = uv — \int v du $$ или для определённого интеграла $$ \int\limits_a^b u dv = \left. uv \right|_a^b — \int\limits_a^b v du, $$ то приведём оба интеграла к одному виду и тем самым упростим выражение. Преобразуем, например, первый интеграл $$ \int\limits_^ i_1 di_2 = \left. i_1 i_2 \right|_0^ — \int\limits_^ i_2 di_1. $$ Или, с учётом того, что в начальный момент токи считаем равными 0, получаем $$ \int\limits_^ i_1 di_2 = i_1(\tau) i_2(\tau) — \int\limits_^ i_2 di_1. $$ Подставляем в выражение для расчёта накопленной энергии: $$ \begin W(\tau) = \frac 2 + \frac 2 + M_ i_1(\tau) i_2(\tau) + (M_ — M_) \int\limits_^ i_2 di_1. \label \end $$

Как и в рассмотренном ранее случае уединённой индуктивности, так и здесь, запасённая энергия — это энергия магнитного поля индуктивностей, которая зависит от токов через индуктивности в данный момент и не зависит от токов в предшествующие моменты (в квазистационарном приближении). Полученное выражение отвечало бы этому условию, если бы не последнее слагаемое, интеграл в котором зависит от того, каким образом (по какому закону) изменялись токи через индуктивности во всём рассматриваемом промежутке времени, от начального до текущего момента. Требование однозначности энергии при заданных токах будет выполнено только в том случае, если \(M_ = M_\), тогда последнее слагаемое в (\ref) всегда равно 0.

Обозначая взаимную индуктивность просто как M, окончательно получаем формулу для вычисления запасённой энергии в любой момент времени $$ \begin W = \frac 2 + \frac 2 + M i_1 i_2, \label \end $$ где i1, i2 — мгновенные значения тока через первую и вторую индуктивность в момент времени, для которого вычисляется W.

Итак, свойство взаимности подтверждено, энергия связанных индуктивностей вычислена. Но это ещё не всё, из (\ref) можно сделать определённые выводы насчёт соотношения между индуктивностями и взаимной индуктивностью, если принять во внимание то, что всегда, (как и в случае одной индуктивности), запасённая энергия является неотрицательной величиной. То есть, при любых значениях i1, i2 и любых их знаках выполняется условие $$ W \ge 0 $$ или $$ \begin \frac 2 + \frac 2 + M i_1 i_2 \ge 0. \label \end $$ Условие, повторим ещё раз, должно выполняться при любом сочетании токов через индуктивности. Если хотя бы один из токов равен нулю или токи имеют одинаковый знак, то, очевидно, условие выполняется, так как тогда каждое из слагаемых положительно (или равно 0). Поэтому рассмотрим случай, когда токи не равны нулю и имеют разные знаки, т.е. $$ i_1 i_2 \lt 0 \Rightarrow \\ \Rightarrow — i_1 i_2 \gt 0 \Rightarrow \\ \Rightarrow — i_1 i_2 = |i_1 i_2|. $$ Тогда условие (\ref) может быть записано в виде $$ M \le \frac 1 <|i_1 i_2|>\left( \frac + \frac \right) $$ или $$ M \le \frac \frac <|i_1|> <|i_2|>+ \frac \frac <|i_2|><|i_1|>. $$ Полученное условие ограничивает максимально возможное значение взаимной индуктивности. Никакие конструктивные ухищрения не позволят добиться увеличения взаимной индуктивности сверх величины, соответствующей наименьшему возможному значению выражения $$ \frac \frac <|i_1|> <|i_2|>+ \frac \frac <|i_2|><|i_1|>. $$ Обозначим |i1|, |i2| соответственно как x, y (x > 0, y > 0) и найдём наименьшее значение функции $$ f=\frac \frac x y + \frac \frac y x. $$ Можно рассматривать её как функцию двух переменных или привести к функции одной переменной. Пусть $$ y = z x \\ (x \gt 0, y \gt 0 \Rightarrow z \gt 0), $$ тогда $$ f = \frac \frac x + \frac \frac x, \\ f = f(z) = \frac \frac 1 z + \frac z. $$ Нетрудно заметить, что $$ f(z) \rightarrow + \infty \text < при>\\ z \rightarrow 0+ \text < или >z \rightarrow + \infty, $$ тогда наименьшее значение функция f(z) будет принимать в точке минимума z0, которую найдём из условия $$ f'(z_0) = 0, \\ — \frac \frac 1 + \frac = 0, \\ z_0^2 = \frac , $$ а с учётом того, что z > 0, $$ z_0 = \sqrt <\frac >. $$ Вычисляем наименьшее значение функции $$ f_ = f(z_0) = \frac \sqrt <\frac > + \frac \sqrt <\frac > = \frac > 2 + \frac > 2, \\ f_ = \sqrt. $$ Как мы выяснили, $$ M \le f_, $$ то есть $$ M \le \sqrt. $$

Итак, вычисляя энергию связанных индуктивностей и рассматривая требования, которым она должна удовлетворять, нам удалось убедиться в справедливости важнейших свойств взаимной индуктивности.

Анализ Взаимной Индуктивности при Различных Конфигурациях Катушек

Author Image

Вы когда-нибудь замечали, что когда вокруг вас находятся счастливые, восторженные друзья, то вы тоже чувствуете себя счастливым? Можно рассматривать явление взаимной индукции аналогичным образом: ток, протекающий через одну цепь, создает ток в соседней цепи. Взаимная индуктивность является количественной мерой изменений, необходимых для этого эффекта. Здесь, мы исследуем использование моделирования для вычисления взаимной индуктивности в различных конфигурациях проволочных катушек.

Взаимная индуктивность и Индукционные Токи

Когда изменяющийся во времени ток протекает через электрическую цепь — первичный контур или первичную катушку — он вызывает изменение магнитного поля. Магнитное поле изменяется во времени, что приводит к появлению тока в соседнем контуре, вторичной катушке. Этот эффект называется взаимная индукция. Взаимная индукция играет важную роль в функционировании трансформаторов, моторов, генераторов и других приборов.

Довольно часто, требуется рассчитать, каким образом необходимо изменить ток в первичной катушке, чтобы получить заданное значение напряжения во вторичной обмотке. Для того чтобы сделать это, необходимо вычислить взаимную индуктивность рассчитывая эффект в катушке в зависимости от изменения тока в другой катушке. Вычисление взаимной индуктивности поможет также избежать любых неисправностей в работе приборов, так как взаимная индукция может приводить к возникновению нежелательных взаимосвязей между проводниками.

При вычислении взаимной индуктивности — ориентация, форма обмотки, взаимное расположение катушек друг относительно друга — все имеет значение. Если две катушки расположены близко, почти весь магнитный поток, производимый первичной катушкой, будет взаимодействовать с витками вторичной катушки, создавая, таким образом, большую взаимную индуктивность. С другой стороны, катушки разнесенные друг от друга будут иметь значительно меньшую взаимную индуктивность. Наличие магнитных материалов также может увеличивать значение взаимной индуктивности.

Давайте рассмотрим подробнее, каким образом эти факторы влияют на взаимную индуктивность, моделируя различные конфигурации катушек.

Использование Моделирования для Вычисления Взаимной Индуктивности

Между Одновитковыми Катушками

Для нашего первого примера одновитковой катушки, цепь состоит из первичной одновитковой катушки радиусом 100 мм и вторичной одновитковой катушки радиусом 10 мм. Оба провода имеют толщину 1 мм и располагаются в концентрической компланарной геометрии и обладают 2D осевой симметрией. Моделируемая область окружена бесконечным пространством. В первичной катушке возбуждается электрический ток силой 1 А и частотой 1 кГц.

Схема, показывающая конфигурацию одновитковых катушек.

Конфигурация двух одновитковых катушек.

Функция Single-Turn Coil (Одновитковая Катушка) используется для моделирования конфигурации катушек в режиме постоянного (DC) тока. Поскольку ток в первичной обмотке является постоянным (DC), он не может создать изменяющееся магнитное поле. Таким образом, магнитный поток через вторичную катушку не изменяется, что означает отсутствие индуцированного напряжения. Тем не менее, вы все равно можете рассчитать взаимную индуктивность, анализируя суммарный магнитный поток и сравнивая его значение с аналитическими результатами. После этого конфигурация рассчитывается в режиме переменного (AC) тока для вычисления индуцированных токов во вторичной катушке.

На графиках представлены результаты моделирования магнитного поля (DC) постоянного тока, а также вычисленная взаимная индуктивность конфигурации катушек.

Визуализация плотности магнитного потока одновитковых катушек.

Графическое представление плотности магнитного потока для модели (DC) постоянного тока.

 Наведенные токи в разомкнутом контуре (цепи) одновитковой катушки.

 Наведенные токи в замкнутом контуре одновитковой катушки.

Наведенные токи в конфигурации одновитковых катушек для разомкнутого (слева) и замкнутого (справа) контура.

По результатам моделирования, можно проанализировать соотношение между индуцированными токами в AC модели и индуктивностью в DC модели.

Многовитковая Катушка и Группа Катушек

Похожая конфигурация катушек может быть смоделирована в двух различных вариациях. В этом примере, первичной катушкой является та же одновитковая катушка, однако вторичная катушка имеет двадцать витков. Мы можем вычислить взаимную индуктивность для этой модели в обоих случаях — замкнутой и разомкнутой обмотки (цепи).

Наглядное представление конфигурации одновитковой катушки и катушки с двадцатью витками.

Взаимное расположение первичной одновитковой катушки и вторичной катушки с двадцатью витками.

В примере многовитковой катушки, первичная катушка моделируется с помощью функции Single-Turn Coil (Одновитковой Катушки), которая используется для возбуждения катушки. Вторичная катушка моделируется с помощью функции Multi-Turn Coil (Многовитковой Катушки). Гомогенизированный подход используется для моделирования витков вторичной катушки.

Графическое представление линий магнитного потока для случаев разомкнутой и замкнутой цепи. Вычисленное падение напряжения в витках вторичной катушки — величина, которая может быть использована для определения взаимной индуктивности.

Графическое представление магнитного потока в конфигурации разомкнутой цепи (обмотки) катушки.

 Графическое представление магнитного потока в конфигурации замкнутой цепи (обмотки) катушки.

Магнитный поток в конфигурации с многовитковой катушкой для разомкнутой (слева) и замкнутой (справа) обмотки (цепи).

Ту же конфигурацию можно также смоделировать таким образом, что каждый виток катушки будет моделироваться явно (отдельно). В примере группы катушек, первичная катушка моделируется с помощью функции Single-Turn Coil (Одновитковой Катушки). Вторичная катушка также моделируется с помощью функции Single-Turn Coil, но с дополнительной настройкой Coil group (группы Катушек), которая задает, что одна и та же величина тока протекает в каждом витке катушке и вычисляет общее падение напряжения для определения взаимной индуктивности.

Значение напряжения, найденное с помощью настройкой Coil group (Группа Катушек), используется для оценки взаимной индуктивности и находится в хорошем соответствии с теоретическими результатами.

Изображение,показывающее магнитный поток группы катушек.

Линии магнитного потока (слева) и индуцированные токи (справа) для конфигурации группы катушек.

Среда COMSOL Multiphysics предоставляет легкий способ вычисления взаимной индуктивности для множества различных конфигураций электрических цепей. Представьте себе и используйте возможности этой функциональности для нужд собственного моделирования.

Скачать Учебные Модели

  • Mutual Inductance and Induced Currents Between Single-Turn Coils
  • Mutual Inductance and Induced Currents in a Multi-Turn Coil
  • Mutual Inductance and Induced Currents in a Coil Group

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *