Что обозначается буквой j в электротехнике
Перейти к содержимому

Что обозначается буквой j в электротехнике

  • автор:

Как преобразовать показательную форму записи величины в алгебраическую

В общем случае алгебраическая форма записи комплексной величины выглядит следующим образом:

Но это математическая запись. В электротехнике принято мнимую единицу обозначать не «i», а буквой «j» (это сделано для того, чтобы не было путаницы с токами, которые чаще всего и обозначаются латинской буквой «i»). Тогда в электротехнике вы скорее всего увидите запись:

При этом мнимая единица может стоять как первым множителем, так и вторым. То есть это же число можно записать:

Часть комплексного числа без мнимой единицы называется «Действительной» и чаще всего обозначается Re (от английского Real — действительный, настоящий)

Часть комплексного числа с мнимой единицой называется также «Мнимой» и обозначается Im (от английского Imaginary — воображаемый)

Что касается показательной формы записи, то в она обычно выглядит так:

Здесь буква «А» — модуль величины, буква «е» ничего не значит и просто указывает, что это показательная форма записи (так как остальные данные записаны в показатель степени). Буква «j» в степени тоже просто обозначает комплексное число, а вот «φ» — это угол в градусах или радианах.

Чтобы легко понять как эти формы записи связаны друг с другом, достаточно рассмотреть изображение вектора на комплексной плоскости:

Очевидно, что такой вектор можно задать, указав его длину и угол поворота — это и есть показательная форма записи комплексных числел. То, что в нашем примере обозначено буквой «А» — длина вектора, а число в показателе степени — угол поворота

Еще один споосб точного описания вектора — указать его проекции на координатные оси. Например «отложим пять единиц по горизонтальной оси и три по вертикальной». Именно так и работает алгебраическая форма записи:

Очевидно — чтобы перевести из показательной формы записи в алгебраическую, нужно определить проекции вектора на оси координат. Известно, что косинус угла есть отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Отсюда действительная часть комплексного числа:

Синус угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Значит, мнимая часть комплексного числа:

Разберем пример. Пусть задано напряжение в показательной форме:

Определим действительную часть алгебраической формы записи:

Теперь мнимую часть:

В принципе, все. Можно записать результат (не забывайте к мнимой части дописывать указатель мнимой единицы — j или i):

В качестве итога, запишем алгоритм перевода показательной формы записи комплексного числа в алгебраическую:

Буквенные обозначения употребляемых в электротехнике величин

Примечания: 1. Запасные обозначения применяются, когда главные обозначения использовать нерационально, например, если могут возникнуть недоразумения вследствие обозначения одной и той же буквой разных величин. 2. Мгновенные значения ЭДС, электрического напряжения, потенциала, тока, плотности тока, электрического заряда, мощности, электромагнитной энергии следует обозначать соответствующими строчными буквами. 3. Для амплитудных значений величин, являющихся синусоидальными функциями времени, применяется нижний индекс ш (например, 1т).

Приложение комплексных чисел в электротехнике

Шмидт, Н. М. Приложение комплексных чисел в электротехнике / Н. М. Шмидт. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2012. — № 2 (37). — С. 320-323. — URL: https://moluch.ru/archive/37/4252/ (дата обращения: 09.03.2024).

Первое упоминание о «мнимых» числах как о квадратных корнях из отрицательных чисел относится еще к XVI веку. Итальянский ученый Джироламо Кардано (1501-1576) в 1545 году опубликовал работу, в которой, пытаясь решить уравнение , он пришел к выражению . Через это выражение представлялись действительные корни уравнения: Таким образом, в работе Кардано мнимые числа появились как промежуточные члены в вычислениях. Заслуга Кардано состояла в том, что он допустил существование «несуществующего» числа , введя правило умножения: все остальное стало делом техники.

Однако еще три столетия математики привыкали к этим новым «мнимым» числам, время от времени пытаясь от них избавиться. Только с XIX века, после выхода в свет работ Карла Фридриха Гаусса (1777-1855), посвященных доказательству основной теоремы алгебры, комплексные числа прижились в науке.

Комплексные числа – один из наиболее подходящих разделов курса математического анализа для реализации профессиональной направленности бакалавров по направлению подготовки Информатика и вычислительная техника. При изучении комплексных чисел необходимо учитывать применение математических знаний в общетехнических и специальных дисциплинах, в частности электротехнике. Применение комплексных чисел дает возможность использовать законы, формулы и методы расчетов, применяющиеся в цепях постоянного тока, для расчета цепей переменного тока, упростить некоторые расчеты, заменив графическое решение с использованием векторов алгебраическим решением, рассчитывать сложные цепи, которые другим путем решить нельзя, упростить расчеты цепей постоянного и переменного токов.

При расчетах цепей приходится проводить математические операции с комплексными числами, поэтому студенты должны уметь выполнять следующие операции: 1) находить модуль и аргумент комплексного числа и комплексное число по модулю и аргументу; 2) переводить комплексное число из одной формы в другую; 3) производить сложение и вычитание, умножение и деление комплексных чисел.

Помимо этого, очень важно научить строить кривую и вектор по уравнению синусоиды, вектор по комплексному числу, определять комплексное число по вектору и уравнению, уравнение по комплексному числу.

В электротехнике тема «Переменный ток» занимает значительное место. Это объясняется тем, что большинство электротехнических установок работает на переменном токе, который изменяется синусоидально.

Уравнение переменного напряжения имеет вид , где u – мгновенное значение напряжения; – максимальное значение (амплитуда) напряжения; w – угловая частота ; t – время ; – начальный фазовый угол ; – электрический угол . Это уравнение связывает две переменные величины: напряжение u и время t . С течением времени напряжение изменяется синусоидально.

Аналогичный вид имеют уравнения и других синусоидально изменяющихся величин: тока , э.д.с. и т.д.

При расчете цепей переменного тока приходится использовать синусоидально изменяющиеся величины, т.е. производить сложение, вычитание, умножение и деление уравнений указанного выше типа.

Сложение синусоидальных величин трудоемко, особенно если приходится складывать большое число уравнений. Синусоидальная величина однозначно представлена вращающимся вектором, длина которого равна амплитуде, а начальное положение определяется углом , вращение вектора происходит с угловой скоростью w . Операции производятся с уравнениями, имеющими одинаковую угловую частоту, то есть все векторы, заменяющие уравнения, вращаются с одинаковой угловой скоростью. Следовательно, их взаимное расположение не меняется, отпадает необходимость вращения векторов. Так как векторы заменяют синусоидальные величины, то сложение или вычитание, возможно, заменить сложением или вычитанием векторов.

Переменная синусоидальная величина обладает свойствами:

1. Переменная синусоидальная величина может быть однозначно представлена вектором. Длина вектора равна амплитуде; угол наклона равен начальному фазовому углу.

2. Сложение (и вычитание) синусоидальных величин можно заменить сложением (и вычитанием) векторов.

Кроме сложения и вычитания синусоидальные величины приходится умножать и делить. И здесь на помощь приходят комплексные числа.

Комплексное число может быть изображено на плоскости вектором, длина которого равна модулю комплексного числа, а угол наклона – аргументу. В электротехнике в отличие от математики мнимая единица обозначается буквой j . Если имеется комплексное число A = a + jb , то его можно представить вектором, где – модуль комплексного числа; – аргумент комплексного числа.

Комплексное число имеет три формы: алгебраическую – A = a + jb ; тригонометрическую – ; показательную – .

Комплексное число однозначно представлено вектором, а определенному вектору соответствует определенное комплексное число.

Таким образом, если переменная синусоидальная величина может быть представлена вектором, а определенному вектору соответствует определенное комплексное число, то переменная синусоидальная величина может быть представлена комплексным числом. Такие величины как: напряжение и ток, сопротивление и проводимость, мощность выражаются комплексными числами.

Напряжение и ток. Имеется уравнение . В электротехнике за длину вектора берется не максимальное, а действующее значение. Оно обозначается большой буквой U без индекса и вычисляется путем деления максимального значения на .

Синусоидальная величина, выраженная комплексным числом, называется комплексом и обозначается прописной буквой с точкой наверху . Комплекс напряжения можно написать в трех формах алгебраической – , тригонометрической – и показательной – .

Таким образом, в комплексе напряжения модуль равен действующему значению, аргумент – начальному фазовому углу, активная составляющая – вещественной части комплекса напряжения, реактивная – мнимой части.

Аналогично для тока: , , , , .

Пример. Дано: ток в комплексной форме Написать уравнение тока.

Решение. Для того чтобы написать уравнение, надо знать амплитуду и начальный фазовый угол. Поэтому надо найти модуль – действующее значение и аргумент – начальный фазовый угол заданного комплекса тока:

Сопротивление и проводимость. Имеется цепь (рис. 1): r – активное сопротивление (лампа накаливания); – индуктивное сопротивление (катушка); z – общее сопротивление цепи, называемое полным.

Сопротивления r , , z образуют прямоугольный треугольник сопротивления
(рис. 2). Угол – угол сдвига фаз. Сопротивления не являются синусоидальными величинами, однако отрезок z может быть выражен комплексным числом, считая, что отрезок r откладывается по оси вещественных чисел, а отрезок – по оси мнимых чисел.

Сопротивление в комплексной форме обозначается буквой Z . Для цепи на рис.2 комплекс сопротивления записывается: – алгебраическая форма; – тригонометрическая форма; – показательная форма.

Модуль ; аргумент . Таким образом, в комплексе сопротивления модуль равен полному сопротивлению, а аргумент – сдвигу фаз.

Мощность. Комплекс мощности получится, если комплекс напряжения умножить на сопряженный комплекс тока: , где – комплекс мощности, – сопряженный комплекс тока.

После умножения получим комплексное число, у которого вещественная часть равна активной мощности, а мнимая часть – реактивной мощности:

, где P – активная мощность, Q – реактивная мощность.

Пример. ,6; . Определить активную P и реактивную Q мощность.

Решение. Переведем комплексы напряжения и тока в показательную форму, для этого найдем модуль и аргумент тока и напряжения:

Определим сопряженный комплекс тока: ,

Найдем активную и реактивную мощности: P =975Вт, Q =171 вар.

Алгебраическая форма комплексного числа удобна при сложении и вычитании, показательная – при умножении и делении; тригонометрическая служит для перевода показательной формы в алгебраическую.

  1. Дано: а) ; б) ; в) ; г)

  1. Дано: а) ; б) ; в) .

  1. Дано: а) ; б) ; в) ;г) ;
    д) ; е) ; ж) .

  1. Выполнить сложение, умножение, деление комплексных чисел.

  1. Теоретические основы электротехники: Теория электрических цепей и электромагнитного поля: учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений / под ред. С.А. Башарина, В.В. Федорова. – М.: Издательский центр «Академия», 2004. – 304 с.

Основные термины (генерируются автоматически): комплексное число, число, начальный фазовый угол, алгебраическая форма, вектор, комплекс напряжения, переменная синусоидальная величина, переменный ток, расчет цепей, показательная форма.

Похожие статьи

Пространственные векторы в асинхронном двигателе

Баланс фазных напряжений статорных и роторных цепей В векторной форме баланс напряжений для статора: Аналогично, произведем преобразование баланса напряжений для роторных фазных переменных

Расчет переходного процесса при включении электропривода.

Результатом их являются искажения и скачки напряжений и токов в электрических сетях, которые приводят к В результате получаем СДУ в матричной форме Исследование несинусоидальных периодических цепей переменного тока в различных программных средах.

Пространственные векторы в асинхронном двигателе.

Баланс фазных напряжений статорных и роторных цепей В векторной форме баланс напряжений для статора: Аналогично, произведем преобразование баланса напряжений для роторных фазных переменных

Преобразования переменных в системах координат a, b, c и α, β

В матричной форме система уравнений (3) примет следующий вид Графики напряжений uα и uβ. Б) Обратный перевод переменных из двухфазной системы в трехфазную: α, β → a, b, c. Шрейнер Р.Т. Математическое моделирование электроприводов переменного тока с.

Исследование системы векторного управления.

Алгоритм управления в векторной форме имеет следующий вид после чего также определяются мгновенные значения косинуса и синуса угла γ для Расчет переходного процесса при включении электропривода в однофазной электрической цепи переменного тока.

Методики расчёта составляющих мощности при синусоидальных.

Методы определения реактивной мощности при синусоидальных режимах можно разделить на две группы: методы, использующие мгновенные значения токов и напряжений и методы, использующие Одна выражалась в сдвиге по фазе, а другая в искажении формы.

К расчёту переходных процессов в линейных электрических цепях.

Выбираются: а) переменные состояния цепи, в качестве которых оптимально брать токи в индуктивностях и напряжения на Ниже показаны графовые модели в переменных состояния для экспоненциальной e(t)=Eeat, постоянной e(t)=E и синусоидальной э. д.с. e(t)=Emsin(ωt+ψe)

Расчет несимметричных трехфазных цепей | Статья в журнале.

Рис. 1. Исходная схема цепи. Расчет токов методом симметричных составляющих. Раскладываем напряжения и токи, на напряжения и токи Похожие статьи. Исследование несинусоидальных периодических цепей переменного тока в различных программных средах.

Анализ четырехфазных линий электропередач | Статья в сборнике.

Напряжения и токи в одной линии ДПЗ соответственно равны по величине и противоположны по направлению напряжениям и токам в другой. Существенным отличием четырехфазной линии от линии ДПЗ является отсутствие тока в земле.

  • Как издать спецвыпуск?
  • Правила оформления статей
  • Оплата и скидки

Почему для расчетов в цепях переменного тока используются комплексные числа

Как известно, для решения некоторых типичных задач электротехники применяют комплексные числа. Но для чего их используют и почему это делают именно так? В этом мы и постараемся разобраться по ходу данной статьи. Дело в том, что комплексный метод, или метод комплексных амплитуд, удобен при расчетах сложных цепей переменного тока. И для начала вспомним немного математических основ:

Комплексное число

Как видите, комплексное число z включает в себя мнимую и действительную части, которые между собой различаются и обозначаются в тексте по-разному. Само же комплексное число z может быть записано в алгебраической, тригонометрической или показательной форме:

Комплексное число может быть записано в алгебраической, тригонометрической или показательной форме

Комплексные числа появились в результате решения уравнений, в которых под корнем получалось отрицательное число. Такие уравнения не имели решений в множестве действительных чисел, поэтому было введено понятие мнимой единицы i, которая является корнем из -1. С помощью комплексных чисел можно решать любые алгебраические уравнения, а также изучать различные функции и преобразования комплексного аргумента.

Считается, что представление о мнимых числах начало зарождаться в 1545 году, когда итальянский математик, инженер, философ, медик и астролог Джироламо Кардано в своем трактате «Великое искусство» опубликовал данный метод решения уравнений, где, кстати, признался, что идею ему передал Никколо Тарталья (итальянский математик) за 6 лет до публикации этой работы. В работе Крадано решал уравнения вида:

Уравнение Кардано

В процессе решения данных уравнений ученый вынужден был допустить существование некого «нереального» числа, квадрат которого был бы равен минус единице «-1», то есть будто бы существует квадратный корень из отрицательного числа, и если его теперь возвести в квадрат, то получится, соответственно, отрицательное число, стоящее под корнем. Кардано указал правило умножения, согласно которому:

Правило умножения Кардано

На протяжении трех веков математическое сообщество пребывало в процессе привыкания к новому подходу, предложенному Кардано. Мнимые числа постепенно приживались, однако принимались математиками неохотно. И лишь с публикациями работ Карла Фридриха Гаусса по алгебре, где он доказывал основную теорему алгебры, комплексные числа наконец-то основательно приняли, на дворе был 19 век.

Мнимые числа стали настоящей палочкой — выручалочкой для математиков, ведь сложнейшие задачи стали решаться гораздо проще с приятием существования мнимых чисел.

Так вскоре дело дошло и до электротехники. Электрические цепи переменного тока порой оказывались очень сложными, и для их расчета приходилось вычислять множество интегралов, что зачастую весьма неудобно.

Наконец, в 1893 году гениальный электротехник Карл Август (Чарлз Протеус) Штейнмец выступает в Чикаго на Международном электротехническом конгрессе с докладом «Комплексные числа и их применение в электротехнике», чем фактически знаменует начало практического применения инженерами комплексного метода расчетов электрических цепей переменного тока.

В своем докладе Штейнмец ввел понятие комплексной мощности, которая состоит из активной и реактивной составляющих, и показал, как можно вычислять их с помощью комплексных чисел. Он также разработал методы для анализа и синтеза полифазных систем, которые широко используются в электроэнергетике.

Доклад Штейнмеца произвел большое впечатление на электротехническое сообщество и стал поворотным моментом в развитии теории и практики переменного тока.

Благодаря комплексным числам, инженеры получили мощный инструмент для решения сложных задач, связанных с переменным током. Комплексные числа стали неотъемлемой частью электротехники и электроэнергетики.

Переменный ток

Почему при расчетах переменных токов нельзя использовать те же формулы, что и при расчетах постоянных токов?

При расчетах переменных токов нельзя использовать те же формулы, что и при расчетах постоянных токов, потому что в цепях переменного тока возникают дополнительные эффекты, связанные с индуктивностью и ёмкостью элементов цепи. Эти эффекты приводят к тому, что сопротивление цепи зависит не только от ее активного сопротивления, но и от частоты переменного тока. Кроме того, в цепях переменного тока могут быть фазовые сдвиги между напряжением и током, которые также влияют на характеристики цепи.

Комплексные числа в расчетах переменных токов

Комплексные числа в электротехнике и электронике используются для упрощения расчетов переменных токов и напряжений, а также для анализа фазовых сдвигов, импедансов, резонансов и других явлений в электрических цепях.

Комплексные числа позволяют заменить графические методы решения задач на алгебраические, а также применять общие законы и формулы, которые справедливы для постоянного тока, к переменному току. Они также помогают моделировать различные физические процессы, такие как колебания и волны.

Для расчетов в цепях переменного тока комплексные числа используются, потому что они позволяют учесть фазовые сдвиги между напряжением и током в различных элементах цепи, таких как резисторы, конденсаторы и катушки индуктивности.

Для работы с комплексными числами в электротехнике нужно знать, как выполнять основные алгебраические операции над ними, такие, как сложение, вычитание, умножение и деление, а также как переводить их из алгебраической формы в тригонометрическую или показательную форму и обратно. Также полезно знать, как находить модуль и аргумент комплексного числа, которые соответствуют амплитуде и фазе переменной величины.

Из курса физики нам известно, что переменный ток — это такой ток, который изменяется во времени как по величине, так и по направлению.

В технике встречаются различные формы переменного тока, однако наиболее распространен сегодня ток переменный синусоидальный, именно такой используется всюду, при помощи его электроэнергия передается, в виде переменного тока она генерируется, преобразуется трансформаторами и потребляется нагрузками. Синусоидальный ток периодически изменяется по синусоидальному (гармоническому) закону.

Синусоидальный ток

Действующие значения тока и напряжения меньше амплитудных значений в корень из двух раз:

Действующие значения тока и напряжения меньше амплитудных значений в корень из двух раз

В комплексном методе действующие значения токов и напряжений записывают так:

Действующие значения токов и напряжений в комплексном виде

Обратите внимание, что в электротехнике мнимая единица обозначается буквой «j», поскольку буква «i» уже занята здесь для обозначения тока.

Из закона Ома определяют комплексное значение сопротивления:

Комплексное значение сопротивления

Сложение и вычитание комплексных значений осуществляется в алгебраической форме, а умножение и деление — в показательной форме.

Давайте разберем метод комплексных амплитуд на примере конкретной схемы с определенными значениями основных параметров.

Пример решения задачи с применением комплексных чисел

  • напряжение на катушке 50 В,
  • сопротивление резистора 25 Ом,
  • индуктивность катушки 500 мГн,
  • электроемкость конденсатора 30 мкф,
  • сопротивление провода катушки 10 Ом,
  • частота сети 50 Гц.

Найти: показания амперметра и вольтметра, а также ваттметра.

Для начала запишем комплексное сопротивление последовательно соединенных элементов, которое состоит из действительной и мнимой частей, затем найдем комплексное сопротивление активно-индуктивного элемента.

Вспоминаем! Для получения показательной формы находят модуль z, равный корню квадратному из суммы квадратов действительной и мнимой частей, а также фи, равное арктангенсу частного от деления мнимой части на действительную.

Пример решения задачи с применением комплексных чисел

Далее найдем ток и соответственно показания амперметра:

Ток

Итак, амперметр показывает ток 0,317 А — это ток через всю последовательную цепь.

Теперь найдем емкостное сопротивление конденсатора, затем определим его комплексное сопротивление:

Комплексное сопротивление

Далее вычислим полное комплексное сопротивление данной цепи:

Полное комплексное сопротивление данной цепи

Теперь найдем действующее напряжение, приложенное к цепи:

Действующее напряжение, приложенное к цепи

Вольтметр покажет действующее напряжение 19,5 вольт.

Наконец, найдем мощность, которую покажет ваттметр с учетом разности фаз между током и напряжением

Расчет мощности

Ваттметр покажет 3,51 Ватт.

Теперь вы понимаете, какое важное место комплексные числа занимают в электротехнике. Они применяются для удобного расчета электрических цепей. На этой же основе работают и многие электронные измерительные приборы.

Телеграмм канал для тех, кто каждый день хочет узнавать новое и интересное: Школа для электрика

Если Вам понравилась эта статья, поделитесь ссылкой на неё в социальных сетях. Это сильно поможет развитию нашего сайта!

Не пропустите обновления, подпишитесь на наши соцсети:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *