Как поставить знак системы в маткаде
Перейти к содержимому

Как поставить знак системы в маткаде

  • автор:

Решение систем уравнений в MathCad

Для решения уравнений в Mathcad можно воспользоваться двумя способами. Эти способы были частично рассмотрены в разделе «Решение уравнений»:

Использование метода Given — Find:

В рабочем поле mathcad записываем слово Given. Это служебное слово. Оно подключает определенные программные модули mathcad для обработки исходных данных, необходимых для решения системы уравнений численными методами.

Затем указывается начальное приближение для искомых переменных. Это нужно для увеличения скорости и точности решения системы. Если начальное приближение не задать, то mathcad по умолчанию примет его равным нулю для всех переменных, при этом, если окажется, что система имеет несколько решений, то есть риск не определить все корни. Поэтому лучше всегда задавать приближение

Рис. 1. Ввод исходных данных в поле mathcad

Далее вводятся уравнения. Их можно записать в явном или неявном виде. Само уравнение набирается с клавиатуры вручную с использованием панели Calculator. Из этой панели можно взять основные математические операции: дроби, тригонометрию, факториалы и прочее. Уравнение нужно записывать с использованием логического символа «ровно». На панели Boolean он выделен жирным шрифтом (см. рис. 2)

Рис. 2. Панели Boolean и Calculator

Когда уравнения записаны вводится функция Find(x, y, z. ) (где х, y, z. — переменные). Это функция, которая возвращает результат решения системы. Значение функции Find() можно присвоить какой-либо переменной с помощью символа «:=» и использовать ее далее в расчетах (см. рис. 3). При решении систем уравнений в mathcad результатом всегда будет являтся матрица значений

Рис. 3. Ввод функции Find()

Для того чтобы увидеть результат решения системы уравнений, после Find(x, y, z. ) следует поставить символ «» либо «=» из панели Evaluation (см. рис. 4).

Рис. 4. Панель «Evaluation»

В зависимости от сложности системы через определенное время MathCad выведет результат. На рис. 5 можно рассмотреть синтаксис и результат решения системы уравнений. Обратите внимание, что можно присваивать результат решения системы матричной переменной и можно работать с отдельными ее элементами

Рис. 5. Результат численного решения системы уравнений

Mathcad позволяет решать системы уравний в символьном виде. Обычно это полезно, когда требуется получить не точное значение переменных, а их выражения через константы. Например, если мы заменим все числовые константы на неизвестные параметры и решим уравнение относительно x, y и z, то результат выведется в символьном виде (см. рис. 6). Причем, обратите внимание, что в данном случае нам не нужно вводить начальное приближение и мы должны использовать символ «» для вывода результата. Как правило, символьное решение получается громоздким, поэтому не всегда рекомендуется использовать этот метод

Рис. 6. Результат символьного решения системы уравнений

Использование метода Solve:

Как показывает практика, методом solve иногда удается решить системы уравнений, которые не поддаются решению с помощью функции Find()

Синтаксис следующий: на панели matrix нажимаем иконку Matrix or Vector и в появившемся окне указываем количество уравнений входящих в систему. В нашем примере их будет три (см. рис. 7)

Рис. 7. Создание матрицы для метода SOLVE

Заполняем систему, вводя последовательно все уравнения используя логический символ «ровно» из панели Boolean. Каждый элемент матрицы-столбца содержит одно уравнение (см. рис. 8)

Рис. 8. Ввод системы уравнений для метода SOLVE

Когда все уравнения введены, убедитесь, что курсор ввода находится в вашей матрице и затем нажмите кнопку «solve» из панели Symbolic. Появится служебное слово (функция) solve. Далее поставте запятую и введите последовательно все переменные, относительно которых необходимо решить систему уравнений (см. рис. 9)

Рис. 9. Синтаксис метода SOLVE для решения систем

Уведите курсор в свободное поле mathcad и дождитесь окончания решения системы. Обратите внимание, что мы не вводили начальные приближения. Даный метод их назначает автоматически. Обратите так же внимание, что для решения системы в символьном виде синтаксис аналогичен (см. рис. 10)

Рис. 10. Синтаксис метода SOLVE для решения систем

Как показывает моя инженерная практика, решение систем в символьном виде сопряжено с большими вычислительными трудностями. То есть иногда решение системы занимает массу времени, и в итоге mathcad выдает выражение для одной переменной непомерной длины, которое нельзя использовать. Поэтому рекомендуется прменять эту возможность лишь в крайних случаях и по возможности «помогать» mathcad, заменяя константы известными числовыми значениями

Donec eget ex magna. Interdum et malesuada fames ac ante ipsum primis in faucibus. Pellentesque venenatis dolor imperdiet dolor mattis sagittis. Praesent rutrum sem diam, vitae egestas enim auctor sit amet. Pellentesque leo mauris, consectetur id ipsum sit amet, fergiat. Pellentesque in mi eu massa lacinia malesuada et a elit. Donec urna ex, lacinia in purus ac, pretium pulvinar mauris. Curabitur sapien risus, commodo eget turpis at, elementum convallis elit. Pellentesque enim turpis, hendrerit tristique.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Duis dapibus rutrum facilisis. Class aptent taciti sociosqu ad litora torquent per conubia nostra, per inceptos himenaeos. Etiam tristique libero eu nibh porttitor fermentum. Nullam venenatis erat id vehicula viverra. Nunc ultrices eros ut ultricies condimentum. Mauris risus lacus, blandit sit amet venenatis non, bibendum vitae dolor. Nunc lorem mauris, fringilla in aliquam at, euismod in lectus. Pellentesque habitant morbi tristique senectus et netus et malesuada fames ac turpis egestas. In non lorem sit amet elit placerat maximus. Pellentesque aliquam maximus risus, vel venenatis mauris vehicula hendrerit.

Interdum et malesuada fames ac ante ipsum primis in faucibus. Pellentesque venenatis dolor imperdiet dolor mattis sagittis. Praesent rutrum sem diam, vitae egestas enim auctor sit amet. Pellentesque leo mauris, consectetur id ipsum sit amet, fersapien risus, commodo eget turpis at, elementum convallis elit. Pellentesque enim turpis, hendrerit tristique lorem ipsum dolor.

Форма обратной связи

Поделиться

Статистика

  • © student-engineer.pro :: Semen Kuptcov

5.2.1. Системы уравнений: функция Find MathCAD 12 руководство

Здесь f1(x1, . хM), . fN (x1, . XM) — некоторые скалярные функции от скалярных переменных x1,x2, . хM и, возможно, от еще каких-либо переменных. Уравнений может быть как больше, так и меньше числа переменных. Заметим, что систему (5.4) можно формально переписать в виде

где х — вектор, составленный из переменных x1,x2, . ,хM, a f (х) — соответствующая векторная функция.

Вычислительный блок Given /Find

Для численного решения систем уравнений применяется тот же самый вычислительный блок, что и для символьных вычислений (см. разд. 5.1.1). Повторимся, что он состоит из ключевого слова Given , самой системы уравнений, записанной при помощи логических операторов панели Boolean (Булевы операторы), а также встроенной функции Find. Find(x1, . ,хM) — встроенная функция для решения системы алгебраических уравнений и неравенств относительно переменных x1. xM . Значение функции Find представляет собой вектор, составленный из решений по каждой переменной.

Встроенная функция Find использует в качестве численного алгоритма один из градиентных методов (см. разд. 5.3). Этот факт налагает некоторые ограничения на уравнения системы, которые должны быть достаточно гладкими функциями своих аргументов.

При численных расчетах может быть найден только один из корней уравнения, в отличие от символьных вычислений, которые позволяют определить все имеющиеся корни.

Применение численного нахождения корней отличается от символьного двумя обстоятельствами:

  • вместо оператора символьного вывода после функции Find следует использовать оператор численного вывода (знак равенства);
  • перед вычислительным блоком Given/Find должны быть заданы начальные значения ( guess value ) для всех неизвестных, т. е. всем переменным x1, . ,хM , относительно которых решается уравнение, следует предварительно присвоить некоторые численные значения, с которых и будет начинаться поиск корня. Таким образом, присвоение начального значения требует априорной информации о примерном местонахождении корня и связано с проблемой локализации корней, упомянутой в начале разд. 5.2.

Помните также о том, что, в отличие от символьного, для численного процессора необходимо задать числовые значения всех параметров, входящих в уравнение.

Одно уравнение с одним неизвестным

Рассмотрим в качестве примера (листинг 5.8) одно уравнение с одним неизвестным, которое уже решалось нами аналитически (см. листинги 5.1 и 5.2). Уравнение имеет три корня, как видно из графика, приведенного на рис. 5.4. Обратите внимание, что перед ключевым словом Given переменной х присваивается некоторое значение х=1 . В остальном применение функции Find для решения уравнения не отличается от символьных расчетов.

Листинг 5.8. Численное решение кубического уравнения с начальным значением x=1

Рис. 5.4. Графическая иллюстрация решения кубического уравнения

Как уже отмечалось выше, результатом численного решения алгебраического уравнения является один его корень. Для того чтобы отыскать остальные корни, необходимо повторно решить уравнение, взяв для переменной х другие начальные значения. Например, если присвоить ей в начале листинга значение х=-1 , то численным процессором будет выдан в качестве результата другой корень х=0 (листинг 5.9). Такая работа программы Mathcad связана с особенностями применяемых численных алгоритмов (см. разд. 5.3). Для численного определения всех корней уравнения следует применять специальные приемы, например, сканирование по неизвестным (см. разд. 5.2.4).

Листинг 5.9. Численное решение кубического уравнения с начальным значением x=-1 сходится к другому корню x=0

Приведем еще один пример численного решения алгебраических уравнений, обратившись на этот раз к системе двух уравнений, которая также уже исследовалась нами при помощи символьного процессора. Система имеет два решения, показанные графически на рис. 5.2 и найденные аналитически в листинге 5.7 (см. разд 5.1.3). Листинг 5.10, демонстрирующий численное решение рассматриваемой системы, начинается с присвоения неизвестным начальных значений х=10,у=10 . После этого следует ключевое слово Given и два логических оператора, выражающих рассматриваемую систему уравнений. В результате (последняя строка листинга) Mathcad находит один из корней х=1,у=0, причем первый элемент вектора решения есть первый аргумент функции Find , а второй элемент — ее второй аргумент. Поскольку решение производится численным методом, оно выдается с некоторой погрешностью, не превышающей встроенной константы CTOL . Если задать в первой строке листинга другие начальные значения, расположенные ближе к другому корню, например, х=0,у=0 , то найден в итоге будет другой корень х=-0.5,у=-0.75.

На самом деле в вычислительном блоке используются обе системные константы Mathcad, связанные с заданием погрешности: TOL и CTOL . Константа CTOL ограничивает невязку, т. е. задает точность выполнения уравнений, введенных после ключевого слова Given . Например, если CTOL=0.001 , то уравнение х=10 будет считаться выполненным и при х=10.001 , и при х=9.999 . Другая константа TOL определяет условие прекращения итераций численным алгоритмом (см. разд. 5.4). Значение CTOL может быть задано пользователем так же, как и TOL , например, CTOL=0.01 . По умолчанию принято, что CTOL= =TOL=0.001 , но вы по желанию можете переопределить их.

Часто бывает очень полезным проверить точность решения уравнений «вручную», подставив найденные вычислительным процессором корни в исходные уравнения и оценив значение их невязок.

Листинг 5.10. Численное решение системы алгебраических уравнений

Если предпринять попытку решить несовместную систему, в частности, в рассматриваемом примере добавить еще одно уравнение, то Mathcad выдаст сообщение об ошибке, гласящее, что ни одного решения не найдено, и предложение попробовать поменять начальные значения или значение погрешности.

Особую осторожность следует соблюдать при решении систем с числом неизвестных большим, чем число уравнений. Например, можно удалить одно из двух уравнений из рассмотренной нами задачи, попытавшись решить оставшееся единственное уравнение с двумя неизвестными х и у (листинг 5.11). В такой постановке задача имеет бесконечное множество корней: для любого х и, соответственно, у=х 2 -1 условие, определяющее единственное уравнение, выполнено. Однако даже если корней бесконечно много, численный метод будет производить расчеты только до тех пор, пока логические выражения в вычислительном блоке не будут выполнены (конечно, в пределах погрешности). После этого итерации будут остановлены и выдано решение. В результате будет найдена всего одна пара значений (х,у) , обнаруженная первой, как это показано в последней строке листинга 5.11.

Для того чтобы найти все решения рассматриваемой задачи, можно обратиться к возможностям символьного процессора Mathcad. Достаточно в последней строке листинга заменить знак равенства на оператор символьного вывода, и в качестве ответа будет выдано семейство решений х и х 2 -1 .

Листинг 5.11. Численное решение уравнения, имеющего бесконечное множество корней, приводит к одному из них

Системы уравнений и неравенств

Пока мы рассматривали примеры систем уравнений, число которых было таким же, как и число неизвестных, что встречается наиболее часто. Но число уравнений и неизвестных может и не совпадать. Более того, в вычислительный блок можно добавить дополнительные условия в виде неравенств. Например, введение ограничения на поиск только отрицательных значений х в рассмотренный выше листинг 5.10 приведет к нахождению другого решения, как это показано в листинге 5.12.

Обратите внимание, что, несмотря на те же начальные значения, что и в листинге 5.10, в листинге 5.12 мы получили другой корень системы уравнений. Это произошло именно благодаря введению дополнительного неравенства, которое определено в блоке Given в предпоследней строке листинга 5. 12.

Листинг 5.12. Численное решение системы алгебраических уравнений и неравенств

Как поставить знак системы в маткаде

Для проведения таких символьных операций, как вычисление производной или интеграла можно набрать выражения с помощью панели Исчисление (рис. 1.15) или «горячих» клавиш, описанных в приложении, и затем использовать оператор вычисления в символьном виде «» панели Символика (рис. 1.16): ; сравните: Команды для выполнения аналитических вычислений в основном сосредоточены в меню Символика (Symbolics) и продублированы на аналогичной панели инструментов. Чтобы упростить выражение (или часть выражения), надо выбрать его при помощи уголкового курсора и дать команду Символика > Упростить (Symbolics > Simplify). При этом выполняются арифметические действия, сокращаются общие множители и приводятся подобные члены, применяются тригонометрические тождества, упрощаются выражения с радикалами, а также выражения, содержащие прямую и обратную функции. Некоторые действия по раскрытию скобок и упрощению сложных тригонометрических выражений требуют применения команды Символика > Раскрыть/Расширить (Symbolics > Expand). В меню Символика (Symbolics) предусмотрен ряд операций, ориентированных на выделенную переменную, использованную в выражении. Например, команда Solve (Решить) ищет корни функции, заданной данным выражением. В примере в аналитической форме получены все корни полинома второй степени: сначала применена команда solve для решения, а затем simplify для упрощения результата: Другие возможности использования этого меню включают:

    аналитическое дифференцирование и интегрирование: Символика > Переменная > Дифференцировать (Symbolics > Variable > Differentiate) и Символика > Переменная > Интегрировать (Symbolics > Variable > Integrate);

пример:
– исходное выражение:
– результат дифференцирования по х:
– результат интегрирования по х:

пример:
– исходное выражение:
– в буфер обмена скопировано выражение:
– результат замены переменной х:

Механизм аналитических вычислений можно использовать для аналитического решения уравнений и систем уравнений и неравенств. Для этого задается блок решения Given, в который помещаются уравния и неравенства, а последняя формула блока должна выглядеть как

Find(х,у. ),

где в скобках приведен список искомых величин, а далее следует знак аналитического вычисления, отображаемый в виде стрелки, направленной вправо:

пример:
– начало блока:
– решаемое уравнение:
– поиск решения по х:

Отметим, что функция Find пытается найти решение в аналитической форме. В том случае, если до блока Given задать численно значения всех параметров, входящих в уравнения, а также начальные приближения для корней, то получим решение в числовом виде.

Примеры использования функции Find для решения уравнений и систем уравнений различного типа приведены в соответствующих разделах пособия.

Любое аналитическое вычисление можно применить с помощью ключевого слова. Cписок ключевых слов приведен в приложении.

Как поставить знак системы в маткаде

Щелкните для копирования этого выражения

2. Вставьте оператор аналитического преобразования, введите ключевое слово solve в местозаполнитель и нажмите клавишу ВВОД.

Щелкните для копирования этого выражения

Поскольку правая часть уравнения равняется 0, нет необходимости вводить часть =0 выражения.

3. Введите константу 2 в десятичный формат в виде 2.0, чтобы возвращать ответ в формате с плавающей точкой.

Щелкните для копирования этого выражения

4. Решите уравнение с одной переменной:

Щелкните для копирования этого выражения

5. Решите уравнение с несколькими переменными:

Щелкните для копирования этого выражения

Когда уравнение содержит несколько переменных, необходимо указать, относительно какой переменной его следует решать.

6. Найдите решение для полинома четвертого порядка:

Щелкните для копирования этого выражения

Приведенный выше результат показывает, что аналитическое решение полинома четвертого порядка дает четыре численных решения.

7. Найдите корни полинома с параметрическими коэффициентами:

Щелкните для копирования этого выражения

Щелкните для копирования этого выражения

Щелкните для копирования этого выражения

Щелкните для копирования этого выражения

Щелкните для копирования этого выражения

Решение систем уравнений и равенств

Можно совместно решить несколько уравнений и равенств как систему уравнений, сгруппировав их в виде вектора.

Щелкните для копирования этого выражения

Щелкните для копирования этого выражения

Решение полиномов в радикалах

По умолчанию PTC Mathcad решает полиномиальные уравнения до 4-й степени через радикалы. Решения выражаются через радикалы с использованием обычных арифметических операторов.

1. Найдите решение для следующего полинома:

Щелкните для копирования этого выражения

Математик Галуа в девятнадцатом веке доказал, что имеются полиномы степени 5 и выше, которые невозможно решить через радикалы. Для таких полиномов PTC Mathcad возвращает численную аппроксимацию корней.

2. Найдите решение для полинома степени 5:

Щелкните для копирования этого выражения

Приведенный выше результат показывает, что аналитическое решение полинома четвертого порядка дает четыре численных решения.

Предположения об области существования переменной

Используйте ключевое слово assume , чтобы делать предположения об области существования переменной в задаче (например, что переменная является вещественным числом).

1. Решите уравнение с допущением, что переменная является вещественным числом:

Щелкните для копирования этого выражения

PTC Mathcad возвращает только действительные решения уравнения.
2. Используйте RealRange , чтобы найти действительные решения в диапазоне (0, 2) .

Щелкните для копирования этого выражения

3. Введите x=integer , чтобы найти только целочисленные решения.

Щелкните для копирования этого выражения

4. Введите assume , чтобы ограничить область существования переменной в аналитическом преобразовании.

Щелкните для копирования этого выражения

Щелкните для копирования этого выражения

Возвращение подробных решений уравнений
Добавьте модификатор fully после solve, чтобы получить подробные решения уравнений.
1. Используйте функцию clear.sym , чтобы очистить предыдущее символьное значение a:

Щелкните для копирования этого выражения

2. Используйте fully , чтобы получать значения a , для которых решение является допустимым.

Щелкните для копирования этого выражения

3. Используйте подробный результат, чтобы определить функцию.

Щелкните для копирования этого выражения

4. Вычислите функцию при a=3 и a=7/3 :

Щелкните для копирования этого выражения

Щелкните для копирования этого выражения

Уравнения с периодическими решениями

Для уравнений с периодическим решением PTC Mathcad возвращает единственное решение с последующим выражением для добавления целочисленного периода к первому решению.

1. Используйте fully , чтобы вычислить sin(x) .

Щелкните для копирования этого выражения

Выражение, следующее за оператором if, означает pi/4 плюс все кратные целые числа pi . PTC Mathcad вставляет новую сгенерированную переменную _n, представляющую произвольное целое число. Символ подчеркивания вставляется перед сгенерированной переменной во избежание конфликта имен с другими переменными, которые могли быть определены в других местах в документе.

2. Добавьте модификатор using , за которым следует уравнение, записанное с логическим оператором равенства, чтобы приравнять созданную переменную к новой переменной.

Щелкните для копирования этого выражения

Если переменная, указанная после ключевого слова using , не является сгенерированной переменной, которую возвращает solve , PTC Mathcad возвращает ошибку.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *