Как поставить корень в маткаде
Перейти к содержимому

Как поставить корень в маткаде

  • автор:

Как поставить корень в маткаде

«Горячие» клавиши для ввода встроенных операторов

В этом приложении описана процедура ввода с клавиатуры ряда встроенных операторов. Приводятся только те операторы, для ввода которых требуется нажатие клавиш с отличными от обозначений операторов символами. Напоминаем, что альтернативным вариантом ввода является применение палитр математических символов.

В приведенном ниже списке операторов, вводимых с клавиатуры, используются следующие обозначения:

  • А и В – массивы векторов или матриц;
  • u и v – векторы с действительными или комплексными элементами;
  • М – квадратная матрица;
  • z и w – действительные или комплексные числа;
  • х и у – действительные числа;
  • m и n – целые числа;
  • i – диапазон переменных;
  • t – любое имя переменной;
  • f – функция;
  • X и Y – переменные или выражения любого типа.
Оператор Обозначение Клавиши Описание
Круглые скобки (X) Изменение приоритета операций
Нижний индекс [ Задание индексированной переменной
Верхний индекс [Ctrl]6 Выбор n-го столбца из массива А
Факториал n! ! Вычисляет факториал для целого неотрицательного числа n
Транспонировать [Ctrl]l Транспонирование матрицы А
Возведение в степень ^ Возведение числа z в степень w
Возведение в степень ^ Возведение в n-ю степень квадратной матрицы М (при n = –1 получение обратной матрицы)
Отрицание –X Умножение X на –1
Сумма вектора [Ctrl]4; Вычисляет сумму элементов вектора v (возвращается скалярное значение)
Квадратный корень \ Вычисляет квадратный корень
Корень n-й степени [Ctrl]\ Вычисляет корень n-й степени из числа z
Детерминант матрицы |M| | УВозвращает определитель квадратной матрицы М
Деление X/z / Деление выражения X на скаляр Z, не равный нулю (если X является массивом, то на z делится каждый элемент массива)
Умножение * Вычисляет произведение X на Y, если X и Y являются скалярами. Умножает каждый элемент Y на X, если Y является массивом, а X – скаляром. Вычисляет точечное произведение, если X и Y – векторы одинакового размера. Выполняет умножение матриц, если X и Y являются подобными матрицами
Суммирование для конечного ряда [Ctrl][Shift]4 Вычисляет сумму членов X для i = m, m+1, . n, причем X может быть любым выражением
Произведение для конечного ряда [Ctrl][Shift]3 Вычисляет произведения членов X для i = m, m+1, . n, где X может быть любым выражением
Суммирование для бесконечного ряда $ Вычисляет сумму членов X бесконечного ряда
Произведение для бесконечного ряда # Вычисляет произведение членов X бесконечного ряда
Предел функции в заданной точке [Ctrl]L Вычисляет предел функции f (х) при х, стремящемся к a (выполняется только в режиме символьных вычислений)
Определенный интеграл & Вычисляет определенный интеграл от подынтегральной функции f(t) с пределами интегрирования а – нижним и b – верхним
Неопределенный интеграл [Ctrl]I Вычисляет в символьном виде неопределенный интеграл от подынтегральной функции f(t)
Производная заданной функции по переменной t ? Вычисляет первую производную функции f(t) по переменной t
n-я производная заданной функции по переменной t [Ctrl]? Вычисляет n-ю производную функции f(t) по переменной t
Сложение X+Y + Выполняет скалярное, векторное или матричное сложение X и Y
Вычитание X–Y Выполняет скалярное, векторное или матричное вычитание Y из X
Больше, чем x > y > Возвращает 1, если х>у, иначе возвращает 0
Меньше, чем x < y Возвращает 1, если х
Больше или равно, чем [Ctrl]0 Возвращает 1, если , иначе возвращает 0
Меньше или равно, чем [Ctrl]9 Возвращает 1, если , иначе возвращает 0
Не равно [Ctrl]3 Возвращает 1, если , иначе возвращает 0
Равно [Ctrl]= Возвращает 1, если , иначе возвращает 0
Логическое not [Ctrl][Shift]l Возвращает инверсное значение логического операнда b
Логическое and [Ctrl][Shift]7 Возвращает логическую 1, если b1 и b2 логические 1, иначе возвращает логический 0
Логическое or [Ctrl][Shift]6 Возвращает логическую 1, если b1 или b2 логическая 1, иначе возвращают логический 0
Логическое xor [Ctrl][Shift]5 Возвращает логический 0, если b1=b2 (0=0 или 1=1), иначе возвращает логическую 1

5.2.2. Уравнение с одним неизвестным: функция root MathCAD 12 руководство

Для решения уравнения с одним неизвестным в Mathcad, помимо вычислительного блока Given / Find , предусмотрена встроенная функция root , которая, в зависимости от типа задачи, может включать либо два, либо четыре аргумента и, соответственно, использует разные алгоритмы поиска корней.

  • root(f(x),x) ;
  • root (f (x) , x, a, b) ;
  • f(x) — скалярная функция, определяющая уравнение f(x)=0 ;
  • х — имя скалярной переменной, относительно которой решается уравнение;
  • а, b — границы интервала, внутри которого происходит поиск корня.

Первый тип функции root , аналогично встроенной функции Find , требует дополнительного задания начального значения переменной х , для чего нужно просто перед применением функции root присвоить х некоторое число. Таким образом, присвоение начального значения требует априорной информации о примерной локализации корня, т. к. поиск корня будет производиться вблизи этого числа. Пример работы функции root объясняется листингом 5.13.

Листинг 5.13. Два варианта уравнения методом секущих

Как вы можете убедиться (первая строка листинга 5.13), для решения уравнения при помощи функции root (f (x) ,x,a,b) не требуется задавать начального приближения, а достаточно указать интервал [а,b] . Поиск корня будет осуществлен в промежутке между а и b альтернативным численным методом (Риддера или Брента). Когда root имеет четыре аргумента, следует помнить о двух ее особенностях. Во-первых, внутри интервала не должно находиться более одного корня, иначе будет найден один из них, заранее неизвестно, какой именно. Во-вторых, значения f (а) и f (b) должны иметь разный знак, иначе будет выдано сообщение об ошибке.

В чем же отличие встроенной функции Find от функции root ? Оно состоит в том, что для решения одних и тех же задач используются различные численные алгоритмы (градиентные и метод секущих соответственно). В примерах уравнений с одним неизвестным, которые мы рассматривали до сего момента, выбор метода не влиял на окончательный результат, поскольку фигурировавшие в них функции были «хорошими», т. е. достаточно гладкими для поиска корня одним из градиентных методов, требующих, как известно, вычисления производных. Между тем бывают ситуации, когда применение того или иного метода имеет решающее значение.

Приведем пример простой функции f(x), корни которой удается отыскать только при помощи функции root (листинг 5.14). Она определена в первой строке этого листинга, а ее корень вычислен во второй строке. Из графика, представленного на рис. 5.5, видно, что f (х) имеет особенность в окрестности своего корня, являясь в ней разрывной. В завершающей части листинга 5.14 предпринимается попытка отыскать нулевое значение f (х) посредством вычислительного блока Given/Find , которая оказывается неудачной.

Листинг 5.14. Пример уравнения, которое удается решить только методом секущих

Рис. 5.5. Модельная функция f (х) (продолжение листинга 5.14)

Остается добавить, что f (х) может быть функцией не только х , а любого количества аргументов. Именно поэтому в самой функции root необходимо определить, относительно какого из аргументов следует решить уравнение. Эта возможность проиллюстрирована листингом 5.15 на примере функции двух переменных f (x,y)=x 2 -y 2 +1 . В нем сначала решается уравнение f (х, 0) =0 относительно переменной х, а потом — другое уравнение f (0, у) =0 относительно переменной у, причем, благодаря удачному подбору начальных значений, вычисляются все корни данного квадратичного уравнения.

Таким образом, в обоих случаях один из аргументов функции f (х) воспринимается как неизвестное, а другой — как параметр. Не забывайте при численном решении уравнений относительно одной из переменных предварительно определить значения остальных переменных. Иначе попытка вычислить уравнения приведет к появлению ошибки «This variable or function is not defined above» , в данном случае говорящей о том, что другая переменная ранее не определена.

Для того чтобы отыскать зависимость корней уравнения, вычисленных по одной переменной, от других переменных, разработаны специальные эффективные алгоритмы. Об одной из возможностей читайте в разд. 5.3.3.

Листинг 5.15. Поиск корней уравнения, зависящего от двух переменных

Решение уравнений в MathCad

Для решения уравнений в Mathcad можно воспользоваться двумя способами:

Использование метода Given — Find:

Это наиболее распространенный способ решения обычных алгебраических уравнений. Он достаточно прост. В рабочем поле записываем слово Given. Это служебное слово. Оно подключает определенные программные модули mathcad для обработки исходных данных, необходимых для решения уравнения численными методами.

Затем указывается начальное приближение для искомой переменной. Это нужно для увеличения скорости и точности решения уравнения. Если начальное приближение не задать, то mathcad по умолчанию примет его равным нулю

Рис. 1. Ввод данных в поле mathcad

Далее вводится уравнение. Его можно записать в явном или неявном виде. Само уравнение набирается с клавиатуры вручную с использованием панели Calculator. Из этой панели можно взять основные математические операции: дроби, тригонометрию, факториалы и прочее. Уравнение нужно записывать с использованием логического символа «ровно». На панели Boolean он выделен жирным шрифтом (см. рис. 2)

Рис. 2. Панели Boolean и Calculator

После уравнения вводится функция Find(x) (где х — переменная). Это функция, которая возвращает результат. Значение функции Find(x) можно присвоить какой-либо переменной с помощью символа «:=» и использовать ее далее в расчетах

Для получения результата, после Find(x) следует поставить символ «» либо «=» из панели Evaluation (см. рис. 3). Причем, если вы используете символ ««, то mathcad определит все корни уравнения и сформирует матрицу результатов. Но если вы используете символ «=«, то mathcad выведет единственный корень, который был наиболее близок к начальному приближению. Так что, если вы не знаете сколько корней имеет уравнение, то лучше использовать стрелочку

Рис. 3. Панель «Evaluation»

В зависимости от сложности уравнения через определенное время MathCad выведет результат. На рис.4 можно рассмотреть синтаксис и различие результатов выводимых mathcad. Обратите внимание, что выводимые результаты одного и того же уравнения различны

Рис. 4. Результат численного решения уравнения

Mathcad позволяет решать уравния в символьном виде. Например, если мы заменим все числовые константы на неизвестные параметры и решим уравнение относительно x, то результат выведется в символьном виде (см. рис. 5). Причем, обратите внимание, что в данном случае нам не нужно вводить начальное приближение и мы должны использовать символ «» для вывода результата

Рис. 5. Результат символьного решения уравнения

Использование метода Solve:

Этот метод отличается от выше рассмотренного синтаксисом. На свободном поле вводим уравнение с использованием логического символа «ровно» из панели Boolean. После ввода уравнения, не смещая курсор ввода, на панели Symbolic нажимаем кнопку solve (см. рис. 6)

Рис. 6. Панель Symbolic

Затем ставим запятую и вводим переменную, относительно которой нужно решить уравнение (в нашем случае это x). Нажимаем Enter на клавиатуре и смотрим результат (см. рис. 7)

Рис. 7. Результат решения уравнения методом Solve

Обратите внимание, что метод подходит как для численного так и для символьного представления результатов

Как показывает моя личная инженерная практика, иногда не удается решить уравнения с помощью Given — Find, но получается в Solve. При этом, к сожалению, метод Solve не очень удобен для далнейшего использования результатов решения уравнения

Donec eget ex magna. Interdum et malesuada fames ac ante ipsum primis in faucibus. Pellentesque venenatis dolor imperdiet dolor mattis sagittis. Praesent rutrum sem diam, vitae egestas enim auctor sit amet. Pellentesque leo mauris, consectetur id ipsum sit amet, fergiat. Pellentesque in mi eu massa lacinia malesuada et a elit. Donec urna ex, lacinia in purus ac, pretium pulvinar mauris. Curabitur sapien risus, commodo eget turpis at, elementum convallis elit. Pellentesque enim turpis, hendrerit tristique.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Duis dapibus rutrum facilisis. Class aptent taciti sociosqu ad litora torquent per conubia nostra, per inceptos himenaeos. Etiam tristique libero eu nibh porttitor fermentum. Nullam venenatis erat id vehicula viverra. Nunc ultrices eros ut ultricies condimentum. Mauris risus lacus, blandit sit amet venenatis non, bibendum vitae dolor. Nunc lorem mauris, fringilla in aliquam at, euismod in lectus. Pellentesque habitant morbi tristique senectus et netus et malesuada fames ac turpis egestas. In non lorem sit amet elit placerat maximus. Pellentesque aliquam maximus risus, vel venenatis mauris vehicula hendrerit.

Interdum et malesuada fames ac ante ipsum primis in faucibus. Pellentesque venenatis dolor imperdiet dolor mattis sagittis. Praesent rutrum sem diam, vitae egestas enim auctor sit amet. Pellentesque leo mauris, consectetur id ipsum sit amet, fersapien risus, commodo eget turpis at, elementum convallis elit. Pellentesque enim turpis, hendrerit tristique lorem ipsum dolor.

Форма обратной связи

Поделиться

Статистика

  • © student-engineer.pro :: Semen Kuptcov

Как поставить корень в маткаде

• При вычислении квадратного корня выражения оставьте пустым верхний левый местозаполнитель оператора квадратного или n-го корня.

• В общем случае любое число имеет n корней n-ой степени. Например, квадратным корнем 4 являются числа 2 и -2. Операторы квадратного и n-го корня возвращают главное значение корня, т. е. то, которое имеет наименьший неотрицательный комплексный аргумент. Поскольку комплексный аргумент 2 равен 0, а 2 равен π , результатом будет 2.

• Операторы квадратного и n-го корня возвращают действительный корень, если такой корень существует. Если x является действительным отрицательным числом, то n-ый корень x будет иметь действительное значение, если n нечетно, и комплексное значение, если n — четно. Чтобы получить главную ветвь n-го корня x , возведите x в степень 1 / n .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *